analisis de vigas por mecanica analitica - sebastian francisco ramirez peñaranda

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Analisis de vigas

El análisis de vigas es fundamental en ingeniería estructural para entender cómo estos elementos soportan cargas y se deforman. La mecánica analítica ofrece un marco riguroso y sistemático para este análisis, permitiendo derivar ecuaciones de equilibrio, deformación y resistencia a partir de principios fundamentales, a menudo haciendo uso de la mecánica lagrangiana o hamiltoniana, aunque en el contexto de vigas, las formulaciones directas de la mecánica de materiales son más comunes y prácticas, pero con una base analítica sólida.

 

 

Conceptos Fundamentales

• viga: es un elemento estructural diseñado para resistir cargas aplicadas perpendicularmente a su eje longitudinal.resiste cargas transversales y momentos flectores, Las vigas soportan fuerzas internas como:

• Fuerza cortante (V): fuerza interna que intenta deslizar una sección respecto a otra.

• Momento flector (M): par interno que tiende a curvar o flexionar la viga.

• Cargas: Pueden ser concentradas, distribuidas (uniformemente o no uniforme), momentos, o una combinación de ellas.
• Apoyos: Restricciones que limitan el movimiento de la viga y generan reacciones. Los tipos comunes incluyen:
• Apoyo simple o de rodillo: Permite rotación y desplazamiento longitudinal, pero restringe el desplazamiento vertical (una reacción vertical).
• Apoyo de pasador o articulación: Permite rotación, pero restringe los desplazamientos vertical y horizontal (dos reacciones: una vertical y una horizontal).
• Empotramiento o apoyo fijo: Restringe la rotación y los desplazamientos vertical y horizontal (tres reacciones: una vertical, una horizontal y un momento).
• Deformación: El cambio en la forma de la viga. Se describe por:
  • Rotación o pendiente ($\theta$): El ángulo de giro de la sección transversal.
  • Deflexión o desplazamiento ($\delta$ o $y$): El desplazamiento vertical de la viga desde su posición original.
• Tensiones y Deformaciones Unitarias:
  • Tensión normal ($\sigma$): Fuerza por unidad de área perpendicular a la sección (en el caso de flexión, $\sigma =\frac{My}{I}$).
  • Tensión cortante ($\tau$): Fuerza por unidad de área paralela a la sección.
  • Deformación unitaria normal ($ϵ$): Cambio de longitud por unidad de longitud.
  • Deformación unitaria cortante ($\gamma$): Cambio de ángulo.
• Propiedades del Material:
  • Módulo de elasticidad ($E$): Relaciona la tensión normal con la deformación unitaria normal (Ley de Hooke: $\sigma =Eϵ$).
  • Módulo de corte ($G$): Relaciona la tensión cortante con la deformación unitaria cortante.
• Propiedades Geométricas de la Sección Transversal:
• Área ($A$): Para el cálculo de esfuerzos axiales.
• Momento de inercia ($I$): Resistencia de la sección a la flexión ($I=\int y^{2}dA$).
• Primer momento de área ($Q$): Para el cálculo de esfuerzos cortantes.

TIPOS DE VIGAS Y CARACTERISTICAS

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1.    Viga simplemente apoyada: 

es un elemento estructural fundamental en ingeniería civil y mecánica. Se caracteriza por estar apoyada en dos puntos, lo que permite la rotación libre en los apoyos pero impide el desplazamiento vertical.

            Características principales:

• Dos apoyos: La viga se sostiene en dos puntos, generalmente separados por una distancia considerable.

• Rotación libre en los apoyos: Puede girar sin restricciones en los puntos de apoyo.

• Desplazamiento vertical restringido: No puede moverse hacia arriba o abajo en los apoyos.

• Desplazamiento horizontal libre: Puede desplazarse lateralmente sin restricciones.

           Tipos de cargas que puede soportar:

• Carga puntual: Fuerza concentrada en un punto específico de la viga.

• Carga uniformemente distribuida (UDL): Se reparte de manera uniforme a lo largo de la viga.

• Carga uniformemente variada (UVL): Su intensidad cambia linealmente a lo largo de la viga.

• Carga puntual con momento: Fuerza concentrada acompañada de un momento

          Cálculo de reacciones

Para determinar las reacciones en los apoyos, se usa el principio de equilibrio estático, que establece que la suma de fuerzas y momentos en cualquier dirección debe ser igual a cero. El proceso incluye:

 

1. Dibujar el diagrama de cuerpo libre con todas las cargas y reacciones.
2. Aplicar ecuaciones de equilibrio para sumar fuerzas y momentos.
3. Resolver el sistema de ecuaciones para obtener las magnitudes de las reacciones.

2.     viga en voladizo: 

es un elemento estructural que se caracteriza por estar fijado en un extremo mientras el otro queda libre, sin apoyo. Este tipo de viga es común en balcones, puentes y estructuras arquitectónicas que requieren extenderse sin soportes adicionales.2

            Características principales:

• Un solo punto de apoyo: Se fija firmemente en un extremo.

• Extremo libre: No tiene soporte en el otro extremo.

• Distribución de cargas: Puede soportar cargas puntuales o distribuidas a lo largo de su longitud.

• Flexión y esfuerzos: Experimenta esfuerzos de flexión y cortante debido a las cargas aplicadas.

           Tipos de cargas que puede soportar:

• Carga puntual: Aplicada en un único punto del voladizo.

• Carga distribuida: Se reparte uniformemente a lo largo de la viga.

• Carga móvil: Se desplaza a lo largo de la viga.

            Cálculo de esfuerzos:

               El análisis estructural de una viga en voladizo considera:

1. Momento flector: Se calcula como M = P×L, donde P es la carga aplicada y L la longitud de la viga.
2. Esfuerzo de flexión: Determinado por $\sigma =\frac{M\times y}{I}\backslash sigma\; =\; \backslash frac\{M\; \backslash times\; y\}\{I\}$, donde I es el momento de inercia.
3. Esfuerzo cortante: Se calcula con $\tau =\frac{V\times Q}{I\times t}\backslash tau\; =\; \backslash frac\{V\; \backslash times\; Q\}\{I\; \backslash times\; t\}$, donde V es la fuerza cortante.

3.     viga con carga distribuida:   

es aquella en la que la carga se aplica de manera uniforme o variable a lo largo de su longitud, en lugar de concentrarse en un solo punto. Este tipo de carga es común en estructuras como puentes, techos y pisos, donde el peso se reparte de manera continua.

        Características principales:

• Carga uniforme o variable: Puede distribuirse de manera constante (carga uniformemente distribuida) o cambiar a lo largo de la viga (carga triangular o trapezoidal).

• Mayor estabilidad: Reduce los puntos de concentración de esfuerzo, lo que mejora la resistencia estructural.

• Flexión y cortante: Genera momentos flectores y esfuerzos cortantes que deben calcularse para garantizar la seguridad de la estructura.

            

            

           Cálculo de esfuerzos:

                El análisis de una viga con carga distribuida implica:

• Momento flector máximo: Se calcula con la ecuación $M_{\text{max}}=\frac{q{L}^2}{}$8 para una carga uniformemente distribuida q sobre una viga simplemente apoyada de longitud L.

• Esfuerzo cortante: Se determina con  $V=qLV\; =\; qL$, donde qq es la carga por unidad de longitud.

• Deflexión máxima: Se obtiene con ${\delta }_{\text{max}}=\frac{5q{L}^4}{384EI}\backslash delta\_\{\backslash text\{max\}\}\; =\; \backslash frac\{5qL^4\}\{384EI\}$, considerando el módulo de elasticidad EE y el momento de inercia II.

4.         viga empotrada:

es un elemento estructural que está fijado en uno o ambos extremos, lo que impide tanto el movimiento vertical como la rotación en los puntos de empotramiento. Este tipo de viga es común en construcciones como puentes, edificios y estructuras industriales.

           Características principales

• Fijación rígida: No permite desplazamiento ni rotación en el extremo empotrado.

• Mayor resistencia estructural: Soporta cargas más grandes debido a su rigidez.

• Distribución de esfuerzos: Genera momentos flectores y fuerzas cortantes significativas.

• Menor deflexión: Comparada con vigas simplemente apoyadas, presenta menor deformación bajo carga.

            

            

            Tipos de cargas que puede soportar

• Carga puntual: Aplicada en un punto específico de la viga.

• Carga distribuida: Se reparte uniformemente a lo largo de la viga.

• Carga variable: Su intensidad cambia a lo largo de la viga.

            

            

            Cálculo de esfuerzos:

               El análisis estructural de una viga empotrada considera:

1. Momento flector: Se calcula con $M=\frac{q{L}^2}{}$2 para una carga distribuida q sobre una viga de longitud L.
2. Esfuerzo cortante: Determinado por  $V=qLV\; =\; qL$.
3. Deflexión máxima: Se obtiene con ${\delta }_{\text{max}}=\frac{q{L}^4}{384EI}\backslash delta\_\{\backslash text\{max\}\}\; =\; \backslash frac\{qL^4\}\{384EI\}$, considerando el módulo de elasticidad E y el momento de inercia I.

HIPOTESIS COMUNES:

• Teoría de Euler-Bernoulli: Las secciones planas perpendiculares al eje inicial permanecen planas y perpendiculares después de la deformación (desprecia deformaciones por cortante).Se emplea para predecir la flexión de las vigas bajo carga, considerando el módulo de elasticidad del material y el momento de inercia.

Una de las herramientas fundamentales en el análisis de vigas es la ecuación de E-B, también llamada teoría de la viga de Euler-Bernoulli. Esta ecuación se utiliza para predecir la flexión de las vigas bajo carga y se expresa de la siguiente manera:

d^2/dx^2(EI*d^2y/dx^2)=q(x)

donde:

 

• E es el módulo de elasticidad del material de la viga.
• I es el momento de inercia de la sección transversal de la viga.
• w es la deflexión de la viga.
• x es la coordenada a lo largo de la longitud de la viga.
• q(x) es la carga distribuida a lo largo de la viga.

        

• Teoría de Timoshenko: Incluye efectos de cortante y rotación de la sección (más precisa para vigas cortas).es una mejora de la teoría clásica de Euler-Bernoulli, desarrollada por el ingeniero Stephen Timoshenko en la década de 1920. Esta teoría tiene en cuenta el efecto de corte, lo que la hace más precisa para el análisis de vigas gruesas o cortas.

        Características principales

• Considera la deformación por corte, lo que mejora la precisión en vigas con secciones más grandes.
• Tiene en cuenta la rotación adicional de la sección transversal debido a la distorsión.
• Es adecuada para vigas más cortas y gruesas, comunes en estructuras de acero y concreto.

          Ecuación diferencial de Timoshenko

            La ecuación que describe la flexión de una viga según esta teoría es:

$$EI\frac{d^{4}w}{d{x}^4}-kGA\frac{d^{2}w}{d{x}^2}=q(x)EI\; \backslash frac\{d^4\; w\}\{dx^4\}\; -\; kGA\; \backslash frac\{d^2\; w\}\{dx^2\}\; =\; q(x)$$

            Donde:

• EE es el módulo de elasticidad.
• II es el momento de inercia.
• GG es el módulo de corte.
• AA es el área de la sección transversal.
• kk es el coeficiente de corrección por corte.
• q(x)q(x) es la carga distribuida.

            Diferencias con la teoría de Euler-Bernoulli

            Euler-Bernoulli: No considera el efecto de corte, lo que puede generar errores en vigas gruesas.


            Timoshenko: Incluye el efecto de corte, mejorando la precisión en estructuras más robustas.

                        video explicativo sobre las vigas

Método de las Fuerzas

El método de las fuerzas (también llamado método de los movimientos) es una técnica utilizada para resolver vigas estáticamente indeterminadas, como las vigas fijas. En este método, se asume que las fuerzas internas y las reacciones en los puntos de soporte son desconocidas. La estructura se “descompone” en elementos más simples que pueden ser analizados utilizando las ecuaciones de equilibrio estático, y después se resuelven estas incógnitas por medio de la compatibilidad de desplazamientos y deformaciones.

• Balance de fuerzas horizontales: ∑Fh=0
• Balance de fuerzas verticales: ∑Fv=0
• Balance de momentos: ∑M=0

Método de la Rigidez y Matrices de Rigidez

El método de la rigidez, también conocido como método de los elementos finitos, es otro enfoque utilizado en el análisis de vigas fijas. Este método implica la subdivisión de la viga en pequeños elementos finitos y la formulación de una matriz de rigidez para cada elemento. Las matrices de rigidez se utilizan para calcular las deformaciones y las fuerzas internas en la viga, integrándolas luego para obtener la solución global de la estructura.

Factores de Rigidez y Resistencia

En el contexto de las vigas fijas, la rigidez y la resistencia son parámetros fundamentales. La rigidez de una viga es una medida de su capacidad para resistir deformaciones bajo carga, y está directamente relacionada con las propiedades del material y la geometría de la sección transversal. La resistencia, por otro lado, se refiere a la capacidad de la viga para soportar cargas sin fallar. Los factores que afectan la rigidez incluyen el módulo de Young (E) y el momento de inercia (I), mientras que la resistencia está influenciada por la tensión de fluencia y la carga máxima que la viga puede soportar antes de romperse.

Ejemplo de Cálculo

Para ilustrar estos conceptos, consideremos una viga fija sometida a una carga puntual en el centro. El análisis de esta situación puede realizarse siguiendo estos pasos: 

1. Definir las propiedades de la viga, incluyendo el módulo de elasticidad (E), el momento de inercia (I), y la longitud (L).
2. Calcular las reacciones en los soportes utilizando las ecuaciones de equilibrio estático.
3. Determinar la deflexión máxima en el centro de la viga.

Para una carga puntual P aplicada en el centro de una viga fija de longitud L, las reacciones en los soportes son:


RA = RB = P/2


La deflexión máxima (δmax) se puede calcular usando la fórmula derivada de la ecuación de Euler-Bernoulli:

 

δmax=P⋅L3192⋅E⋅I

 

Este ejemplo muestra cómo aplicar las bases teóricas y las fórmulas para analizar una viga fija bajo una carga concentrada.

bibliografia fuentes e imagenes:

•     Análisis de Vigas Fijas | Resistencia, Rigidez y Soporte
•     viga apoyada
•     viga en voladizo
•     video explicativo
•     imagenes creadas por: chatgpt y gamma
•     fuentes de recursos: chatgpt, copilot, deepseek, gemini